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2019年，王元在辦公室。劉建亞/攝1981年，王元、陳景潤(rùn)、潘承洞（從左至右）在山東大學(xué)。劉建亞供圖1996年，王元（右）與劉建亞在香港。臧文安/攝70年前，一位年輕的數(shù)學(xué)家，在哥德巴赫猜想這座數(shù)學(xué)高峰上，繼華羅庚之后又留下一個(gè)屬于中國(guó)人的足跡——證明了命題“3+4”。他就是王元，時(shí)年25歲。1955年7月，他將論文《表大偶數(shù)為一個(gè)不超過(guò)三個(gè)素?cái)?shù)的乘積及一個(gè)不超過(guò)四個(gè)素?cái)?shù)乘積的乘積之和》投稿至《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》，次年9月發(fā)表，轟動(dòng)世界?！霸稀笔侵袊?guó)數(shù)學(xué)界對(duì)中國(guó)科學(xué)院院士王元的親切稱(chēng)呼，一則出于其名，二則因?yàn)樗侵袊?guó)數(shù)學(xué)界尤其是數(shù)論方向的先驅(qū)人物。今年是元老證明“3+4”定理70周年。華羅庚與哥德巴赫猜想討論班哥德巴赫猜想以其簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言預(yù)測(cè)了素?cái)?shù)之間的加法關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”，是數(shù)學(xué)史上最著名且最具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題之一。1742年，哥德巴赫在與歐拉的通信中提出了這一猜想：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。這一命題看似簡(jiǎn)單，卻深刻揭示了素?cái)?shù)分布的規(guī)律性，吸引了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的關(guān)注。希爾伯特曾將哥德巴赫猜想收入其著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，此后哈代、利特伍德、維諾格拉多夫、華羅庚等數(shù)學(xué)大師，都先后對(duì)哥德巴赫猜想作出了杰出貢獻(xiàn)。華羅庚曾指出：“哥德巴赫猜想真是美極了，現(xiàn)在還沒(méi)有一個(gè)方法可以證明它?！?938年，在英國(guó)劍橋大學(xué)訪(fǎng)學(xué)期間，華羅庚證明了幾乎所有的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和，即哥德巴赫猜想對(duì)幾乎所有的偶數(shù)都成立。這一成就使華羅庚成為哥德巴赫猜想研究的世界頂級(jí)專(zhuān)家。1953年，華羅庚在中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所組織了一個(gè)專(zhuān)門(mén)研究哥德巴赫猜想的討論班。他以深厚的數(shù)學(xué)造詣和高瞻遠(yuǎn)矚的學(xué)術(shù)眼光，為討論班制定了明確的研究方向，并鼓勵(lì)年輕人創(chuàng)新。討論班由年輕人輪流主講，王元是主要演講人之一。這個(gè)討論班為新中國(guó)培養(yǎng)了一代杰出的數(shù)論學(xué)家。華羅庚選擇將哥德巴赫猜想作為討論班的主題，是因?yàn)檫@一猜想與解析數(shù)論中所有的重要方法都有聯(lián)系。通過(guò)學(xué)習(xí)研究哥德巴赫猜想，青年學(xué)者能夠掌握解析數(shù)論中最重要的方法。討論班的研究計(jì)劃涵蓋了當(dāng)時(shí)國(guó)際上研究哥德巴赫猜想的最先進(jìn)方法與成果，包括塞爾伯格篩法、布朗方法、布赫施塔布方法等。華羅庚在討論班上不斷提問(wèn)，確保每個(gè)細(xì)節(jié)都被徹底理解。雖然這種教學(xué)方法進(jìn)展較慢，但參與者受益匪淺。遺憾的是，哥德巴赫猜想討論班1956年被迫中斷，未能完成所有計(jì)劃。王元與“3+4”20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家開(kāi)始嘗試用篩法研究哥德巴赫猜想。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，篩法就是容斥原理的深化與細(xì)化，其核心思想是通過(guò)篩掉合數(shù)保留素?cái)?shù)。這種過(guò)度簡(jiǎn)化的說(shuō)法，雖然有助于理解篩法的性質(zhì)，但是完全不能傳遞篩法極其復(fù)雜、艱深的一面?；诤Y法的特點(diǎn)，學(xué)習(xí)篩法最好的方法是研讀論文，而非聽(tīng)講。筆者曾在不同場(chǎng)合強(qiáng)調(diào)：“要想迅速讓對(duì)方打消學(xué)習(xí)數(shù)論的念頭，就給他講篩法的證明?！边@句話(huà)，雖有調(diào)侃的成分，但確實(shí)符合實(shí)情。1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗證明了命題“9+9”，這一成果開(kāi)啟了篩法在哥德巴赫猜想研究中的應(yīng)用。隨后，國(guó)際上一批數(shù)學(xué)家不斷改進(jìn)篩法，逐步降低了命題“a+b”中的素因子個(gè)數(shù)。1938年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫施塔布將結(jié)果推進(jìn)到“5+5”，1940年，他又證明了“4+4”。這些成果為后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。在討論班舉辦期間，華羅庚建議王元用篩法改進(jìn)哥德巴赫猜想的已有結(jié)果，并特別指出塞爾伯格篩法的重要性。通過(guò)討論班的學(xué)習(xí)，王元已經(jīng)掌握了布朗的方法，但他沒(méi)來(lái)得及研究布赫施塔布的方法，討論班就終止了。由于布赫施塔布1938年和1940年的兩篇重要論文是用俄文發(fā)表的，王元一度無(wú)法獲取這些資料。后來(lái)，他聽(tīng)說(shuō)中國(guó)科學(xué)院圖書(shū)館進(jìn)口了一批俄文雜志，便立即前往借閱。這批雜志剛到，且尚未編目，便堆放在書(shū)庫(kù)的地上。王元花了一整天時(shí)間，將布赫施塔布的兩篇論文手抄下來(lái)。王元發(fā)現(xiàn)，布赫施塔布的方法實(shí)際上是篩函數(shù)的一個(gè)迭代公式，以恒等式的形式呈現(xiàn)。每迭代一次，篩函數(shù)的上下界估計(jì)就會(huì)得到改進(jìn)。布赫施塔布首先用布朗方法計(jì)算出篩函數(shù)的上下界，作為初始值，再通過(guò)迭代公式逐步改進(jìn)，從而改進(jìn)了布朗方法，并于1938年和1940年分別證明了命題“5+5”和“4+4”。王元的思路是，用塞爾伯格篩法得出在各個(gè)范圍內(nèi)篩函數(shù)的上界，再用布朗方法估計(jì)篩函數(shù)的下界，并結(jié)合布赫施塔布的篩函數(shù)下界估計(jì)， 以此作為篩函數(shù)的初始值，反復(fù)用布赫施塔布的方法迭代幾次，最終證明了定理“3+4”。在論文的引言部分，王元表達(dá)了對(duì)華羅庚的感激之情：“華羅庚教授指出，用塞爾伯格方法結(jié)合布朗-布赫施塔布的方法可以改進(jìn)上述結(jié)果，本文的目的在于根據(jù)這一指示將上述結(jié)果改進(jìn)為‘3+4’?！边@篇論文受到了極大重視，王元因此獲得了480多元的特等稿費(fèi)，而當(dāng)時(shí)一名大學(xué)畢業(yè)生的月薪僅為50多元。王元回憶說(shuō)，這筆稿費(fèi)足以購(gòu)買(mǎi)一塊歐米茄手表、一件大衣和一套西服。從“3+4”到現(xiàn)在在證明“3+4”之后，王元于1957年又發(fā)表了定理“2+3”的證明。受王元工作的激勵(lì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家繼續(xù)在哥德巴赫猜想的研究上不斷攀登。此后，潘承洞證明了“1+5”，潘承洞與王元各自證明了“1+4”，陳景潤(rùn)則證明了“1+2”。講述此類(lèi)故事的相關(guān)文章中最著名的，當(dāng)數(shù)作家徐遲的報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜想》，它影響了中國(guó)整整一代人。上世紀(jì)七八十年代，許多青年學(xué)子因?yàn)檫@篇報(bào)告文學(xué)而選擇終身投入數(shù)學(xué)研究。一篇報(bào)告文學(xué)能有如此大的影響力，這在中國(guó)數(shù)學(xué)史乃至世界數(shù)學(xué)史上都是一個(gè)奇跡。與廣為人知的“3+4”定理相比，很少有人知道，王元不僅是潘承洞“1+5”論文和陳景潤(rùn)“1+2”論文的審稿人，還對(duì)這兩篇論文給予了大力支持。為了弄清潘承洞“1+5”論文的證明細(xì)節(jié)，王元與潘承洞通信60余封。正如中國(guó)科學(xué)院院士文蘭后來(lái)評(píng)價(jià)的那樣：“這個(gè)故事太美麗動(dòng)人了……潘承洞、王元都是胸懷坦蕩?！标惥皾?rùn)的“1+2”證明摘要1966年發(fā)表于《科學(xué)通報(bào)》，但由于當(dāng)時(shí)中國(guó)的科技刊物?？?，“1+2”的證明全文直到1973年《中國(guó)科學(xué)》復(fù)刊才得以發(fā)表。在1966年的摘要中，陳景潤(rùn)最關(guān)鍵的“轉(zhuǎn)換原理”并未出現(xiàn)，因此國(guó)外數(shù)學(xué)家普遍認(rèn)為“1+3”仍然是最好的結(jié)果。而王元與閔嗣鶴作為審稿人，是少數(shù)了解陳景潤(rùn)“轉(zhuǎn)換原理”的人。1996年，元老在香港對(duì)我說(shuō)：“陳景潤(rùn)的轉(zhuǎn)換原理是證明‘1+2’的關(guān)鍵，我只要看一眼轉(zhuǎn)換原理，就能明白其余應(yīng)該怎么做，用一個(gè)星期時(shí)間就能自己給出‘1+2’的證明。”以上故事不僅展現(xiàn)了元老高尚的人品和純粹的學(xué)術(shù)追求，也是中國(guó)數(shù)論學(xué)派在艱難時(shí)期團(tuán)結(jié)奮斗的生動(dòng)寫(xiě)照。元老曾經(jīng)辛勤耕耘的解析數(shù)論領(lǐng)域正在蓬勃發(fā)展，歷久彌新。進(jìn)入新世紀(jì)以來(lái)，篩法與解析方法的綜合應(yīng)用催生了一批重要的研究成果。2013年，華人數(shù)學(xué)家張益唐在孿生素?cái)?shù)猜想研究中取得突破性進(jìn)展，證明了相鄰素?cái)?shù)的有限差定理，為這一經(jīng)典問(wèn)題作出了決定性貢獻(xiàn)。此外，塞爾伯格提出的高維篩法在陶哲軒、梅納德等數(shù)學(xué)家的推動(dòng)下煥發(fā)出新的活力，展現(xiàn)出驚人的潛力。如今，一批中外青年數(shù)學(xué)家正繼續(xù)在這一領(lǐng)域探索，譜寫(xiě)著解析數(shù)論的絢麗華章。元老的“3+4”定理，是中國(guó)學(xué)派用篩法研究哥德巴赫猜想的第一座里程碑，它證明了中國(guó)數(shù)學(xué)家有能力在最前沿的數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出世界級(jí)的成果。哥德巴赫猜想的研究仍在繼續(xù)，數(shù)學(xué)的高峰依然等待著攀登者。王元的“3+4”定理，將永遠(yuǎn)銘刻在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的史冊(cè)上，激勵(lì)著一代又一代中國(guó)數(shù)學(xué)人，向著數(shù)學(xué)高峰不斷攀登。溫暖的回憶1996年秋冬之際，我正在香港大學(xué)從事博士后研究，元老受我的合作導(dǎo)師廖明哲教授邀請(qǐng)?jiān)L問(wèn)香港大學(xué)。在港期間，元老時(shí)間充裕，我與元老除了在辦公室座談，還經(jīng)常散步交流，既談國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀，又談國(guó)際研究潮流。元老對(duì)中國(guó)解析數(shù)論始終抱有很深的責(zé)任感和危機(jī)感。有一次元老很認(rèn)真地對(duì)我說(shuō)：“好的定理應(yīng)該能站得住100年，但能站得住50年的定理就已經(jīng)很少了?！痹献C明的“3+4”定理，歷經(jīng)七十載仍光輝燦爛，其光芒必將穿越百年，也將不斷激勵(lì)后輩在通往科學(xué)的高峰上努力拼搏。2021年5月14日，王元先生不幸逝世。時(shí)隔4年，謹(jǐn)以此文表達(dá)對(duì)元老的無(wú)限敬仰與懷念。（作者：劉建亞，系山東大學(xué)副校長(zhǎng)）（原載于《中國(guó)科學(xué)報(bào)》?2025-05-22?第4版?人物）