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在黃河上游，大河穿越深邃峽谷，水聲如雄獅怒吼，洶涌澎湃。行至兩千余里，大河驟轉(zhuǎn)九十度彎，轉(zhuǎn)而向西，壯美無(wú)匹。

轉(zhuǎn)彎處，就是我國(guó)首座百萬(wàn)千瓦級(jí)水電站——?jiǎng)⒓覎{水電站，其主體構(gòu)筑物為我國(guó)建造的首座超百米的混凝土高壩。然而，鮮為人知的是，劉家峽水電站建成的背后有一批中國(guó)計(jì)算數(shù)學(xué)家。他們面對(duì)國(guó)家急迫需求，夜以繼日為大壩設(shè)計(jì)和建造奮戰(zhàn)，助推水電站如期完工。

上世紀(jì)五六十年代，以馮康（1980年當(dāng)選中國(guó)科學(xué)院院士）為代表的中國(guó)科學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)家們?cè)诖髩斡?jì)算中獲得啟示，獨(dú)立于西方創(chuàng)立了有限元方法數(shù)學(xué)理論，開(kāi)創(chuàng)了科學(xué)與工程計(jì)算方法和理論的新領(lǐng)域。

時(shí)至今日，有限元方法已成為研發(fā)設(shè)計(jì)類工業(yè)軟件的核心技術(shù)之一。橋隧大壩、飛機(jī)船舶、手機(jī)芯片……一個(gè)個(gè)復(fù)雜事物的誕生，都離不開(kāi)有限元方法的支持。

如今，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院（以下簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)院）的一群年輕人，正站在先輩的肩膀上，努力構(gòu)建新一代基礎(chǔ)工業(yè)軟件計(jì)算內(nèi)核，啟航新型工業(yè)化征程。

1?萌芽：援手劉家峽

1958年，甘肅，黃河上游。

作為一項(xiàng)國(guó)家重大工程，百萬(wàn)千瓦級(jí)劉家峽水電站開(kāi)工，其主體結(jié)構(gòu)是一座超百米的大型混凝土壩。我國(guó)自主設(shè)計(jì)、施工、建造如此巨大的水電工程，還是第一次。如果順利建成，奔涌的黃河水將在這里“歇腳”，實(shí)現(xiàn)發(fā)電、灌溉和防洪，造福一方百姓。

工程難度之大超乎想象，設(shè)計(jì)和建設(shè)方法都與以往不同。大壩工程進(jìn)展緩慢，在1961年甚至一度停工。

最初承擔(dān)水壩工程計(jì)算攻關(guān)任務(wù)的，是1956年從中國(guó)科學(xué)院原數(shù)學(xué)研究所分出去成立的中國(guó)科學(xué)院計(jì)算技術(shù)研究所三室（現(xiàn)數(shù)學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所的前身，以下簡(jiǎn)稱三室）二組的黃鴻慈等人，馮康提供業(yè)務(wù)指導(dǎo)。黃鴻慈和同事們編寫(xiě)的計(jì)算程序質(zhì)量非常高，為大壩計(jì)算奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

1963年2月，農(nóng)歷新年剛過(guò)，寒冷依舊，劉家峽大壩設(shè)計(jì)組副組長(zhǎng)朱昭鈞風(fēng)塵仆仆地來(lái)到北京求助，希望科研人員幫助解決大壩應(yīng)力計(jì)算問(wèn)題。馮康等三室領(lǐng)導(dǎo)經(jīng)過(guò)慎重考慮，把任務(wù)交給了崔俊芝。那一年，崔俊芝25歲，剛從西北工業(yè)大學(xué)畢業(yè)工作一年，與黃鴻慈、石鐘慈等人在一個(gè)辦公室。

用計(jì)算數(shù)學(xué)解決工程問(wèn)題通常有4個(gè)步驟：建立數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)算法、編程實(shí)現(xiàn)、上機(jī)計(jì)算。很長(zhǎng)一段時(shí)間，研究人員被“卡”在計(jì)算方法上。

“對(duì)方了解工程上的試荷載方法，交給我的任務(wù)是求解由此推導(dǎo)出的40階線性方程組，從而驗(yàn)證該方法的正確性?！?995年當(dāng)選中國(guó)工程院院士的崔俊芝研究員，在當(dāng)時(shí)費(fèi)盡九牛二虎之力，反復(fù)驗(yàn)算后發(fā)現(xiàn)，該方法得到的線性方程組系數(shù)矩陣近乎是奇異矩陣，難以數(shù)值求解。他還嘗試了黃鴻慈研發(fā)的應(yīng)力函數(shù)法程序等方法，都難以得到令工程師滿意的應(yīng)力場(chǎng)計(jì)算結(jié)果。

造成這一困難的主要原因之一是當(dāng)時(shí)的算力不夠。崔俊芝回憶，當(dāng)時(shí)我國(guó)兩臺(tái)最早的計(jì)算機(jī)——“103”機(jī)、“104”機(jī)相繼誕生不久。他需要在字長(zhǎng)39位、容量4K、運(yùn)算速度每秒一萬(wàn)次、內(nèi)存僅2048個(gè)全字長(zhǎng)磁芯體的“104”機(jī)上，求解超過(guò)1000個(gè)未知數(shù)的離散方程。

而劉家峽大壩的工程師們把最后的希望寄托在了中國(guó)科學(xué)院的科研人員身上，懇求他們“無(wú)論如何要想想辦法”。

“無(wú)法滿足用戶要求的時(shí)候，就應(yīng)該另辟新路了。我們開(kāi)始尋找新的方法?！贝蘅≈フf(shuō)。

馮康（左）與崔俊芝。

2?轉(zhuǎn)機(jī)：合力渡難關(guān)

上世紀(jì)60年代初，為響應(yīng)“向科學(xué)進(jìn)軍”的號(hào)召，中國(guó)科學(xué)院提出“任務(wù)帶學(xué)科”科研模式，即以完成國(guó)家重大需求任務(wù)為目標(biāo)，開(kāi)展系統(tǒng)研究，解決國(guó)家發(fā)展中遇到的科學(xué)問(wèn)題。

重任在肩，精確計(jì)算大壩應(yīng)力場(chǎng)，滿足工程師的要求，成為了三室的主要任務(wù)。

轉(zhuǎn)機(jī)來(lái)自馮康推薦的一篇文章和一本書(shū)。

崔俊芝至今還記得，當(dāng)年，馮康在一場(chǎng)報(bào)告上提到普拉格、辛格1947年發(fā)表于美國(guó)《應(yīng)用數(shù)學(xué)季刊》的論文，講述把微分方程寫(xiě)成變分形式，用變分的原理推導(dǎo)差分格式，這對(duì)水壩計(jì)算有所啟發(fā)。“馮先生實(shí)際是在播撒有限元方法的種子，那次報(bào)告拉開(kāi)了三室‘系統(tǒng)性研究’的序幕?！贝蘅≈フf(shuō)。

與此同時(shí)，馮康倡導(dǎo)成立了第七研究組，即理論組，黃鴻慈任組長(zhǎng)。馮康給黃鴻慈推薦了福賽思、沃索合著的《偏微分方程的差分方法》，書(shū)中著重講了3類偏微分方程的數(shù)值方法，給黃鴻慈提供了重要啟發(fā)。

在馮康的籌劃下，“水壩計(jì)算”小組分為3支小隊(duì)，分別從變分法、積分守恒法、去掉壩體基礎(chǔ)的角度開(kāi)展研究。

崔俊芝在“積分守恒法”小隊(duì)，該方法從平衡方程出發(fā)，把應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系帶進(jìn)拉梅方程進(jìn)行計(jì)算。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間復(fù)雜而又艱難的計(jì)算，他們?cè)?964年春節(jié)前得出第一批計(jì)算結(jié)果。驗(yàn)證了格式、解法和程序的正確性后，崔俊芝很快為劉家峽大壩計(jì)算出應(yīng)力場(chǎng)，經(jīng)朱昭鈞等驗(yàn)算，應(yīng)力基本平衡，結(jié)果比較滿意，但在壩踵和壩趾附近誤差仍然較大，應(yīng)力場(chǎng)的精度還不夠。

崔俊芝全力以赴編寫(xiě)了我國(guó)第一個(gè)平面彈性問(wèn)題有限元方法計(jì)算程序，順利計(jì)算出令設(shè)計(jì)者滿意的應(yīng)力場(chǎng)。

那個(gè)年代，科研人員編寫(xiě)程序十分困難?！?04”機(jī)沒(méi)有操作系統(tǒng)、編譯系統(tǒng)、數(shù)據(jù)管理和進(jìn)程管理等系統(tǒng)軟件，所有程序都需自己使用機(jī)器指令直接編寫(xiě)出代碼串式的程序，包括輸入數(shù)據(jù)和打印結(jié)果。

在只有2048個(gè)存儲(chǔ)單元的內(nèi)存空間，崔俊芝要求解約1000階代數(shù)方程組。他需要先扣除約500個(gè)存儲(chǔ)單元存放程序，在剩余約1500個(gè)存儲(chǔ)單元的限制下求解。這必須精打細(xì)算、精心設(shè)計(jì)迭代算法。

經(jīng)過(guò)夜以繼日的調(diào)試、查錯(cuò)、修改、驗(yàn)算，崔俊芝利用自主編寫(xiě)的有限元程序，終于為劉家峽設(shè)計(jì)組計(jì)算出十多組方案及其工況作用下的應(yīng)力場(chǎng)。

1964年5月中旬，“劉家峽計(jì)算任務(wù)匯報(bào)會(huì)”召開(kāi)。朱昭鈞及其同事、黃鴻慈等參加了會(huì)議，崔俊芝匯報(bào)了計(jì)算任務(wù)完成情況，朱昭鈞對(duì)此給予了很高評(píng)價(jià)。

1966年10月，勝利的消息從高原傳來(lái)，萬(wàn)馬奔騰般奔流而來(lái)的黃河被巍峨的大壩攔腰截住，“鎖”在峽谷之中，平靜而緩和。從此，劉家峽水電站成為了亮麗的“高原明珠”。

劉家峽大壩建設(shè)成功后，中央發(fā)出明碼電報(bào)，表彰科研人員為劉家峽工程所作出的突出貢獻(xiàn)。

“馮先生總是高瞻遠(yuǎn)矚，引領(lǐng)著計(jì)算數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究的發(fā)展?！贝蘅≈フf(shuō)。

1978年10月，馮康（中）與黃鴻慈、數(shù)學(xué)院研究員張關(guān)泉合影。

3?首創(chuàng)：獨(dú)立于西方

馮康一直是計(jì)算數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)的實(shí)際學(xué)術(shù)指導(dǎo)和領(lǐng)路人。因?yàn)轳T康，有限元的“種子”從劉家峽大壩的土壤中生根發(fā)芽，成為世界級(jí)學(xué)術(shù)成果。

究竟什么是有限元？馮康曾有過(guò)形象的比喻：“分整為零、裁彎取直、以簡(jiǎn)馭繁、化難為易?！?/p>

有限元方法可謂一種特殊的“拼圖游戲”：為了解決一個(gè)復(fù)雜的大問(wèn)題，例如一個(gè)大型建筑的結(jié)構(gòu)分析，先把它拆解成許多小塊，這些小塊的“拼圖碎片”就是“有限元”；然后逐一分析每個(gè)“有限元”，分別建立方程；最后將它們組合成方程組并求解，最終解決問(wèn)題。

實(shí)際上，我國(guó)古代“曹沖稱象”的典故、數(shù)學(xué)家劉徽采用割圓法計(jì)算圓周長(zhǎng)，就是有限元思想的具體體現(xiàn)。

1943年，著名數(shù)學(xué)家柯朗發(fā)表了世界上第一篇具有有限元思想的論文，只是由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn)，該文章未引發(fā)應(yīng)有的關(guān)注。

20余年后，隨著航空事業(yè)的快速發(fā)展，復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題對(duì)計(jì)算方法提出了更高要求。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使大量復(fù)雜的有限元計(jì)算得以實(shí)現(xiàn)。美國(guó)波音公司工程師特納、陶普和土木工程教授克勞夫、航空工程教授馬丁合作，在航空科技領(lǐng)域的期刊上發(fā)表了一篇采用有限元技術(shù)計(jì)算飛機(jī)機(jī)翼強(qiáng)度的論文。學(xué)界一般認(rèn)為，這是工程學(xué)界有限元方法的開(kāi)端。

有限元方法于1960年由克勞夫在美國(guó)土木工程學(xué)會(huì)計(jì)算機(jī)會(huì)議上第一次正式提出。他發(fā)表的一篇處理平面彈性問(wèn)題的論文，將應(yīng)用范圍擴(kuò)展到飛機(jī)以外的土木工程。

但當(dāng)時(shí)的中國(guó)與西方隔絕，中國(guó)數(shù)學(xué)家難以了解有限元方法的發(fā)展前沿。

“西方的有限元方法是作為結(jié)構(gòu)工程的分析方法而提出的，在中國(guó)則是從數(shù)學(xué)發(fā)展而來(lái)，中國(guó)和西方沿著不同方向獨(dú)立發(fā)展出有限元方法?！贝蘅≈フf(shuō)。

馮康于1965年在《應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)》發(fā)表論文《基于變分原理的差分格式》，這是一套求解偏微分方程的數(shù)值算法，也是著名的有限元方法。

事實(shí)上，后來(lái)任香港浸會(huì)大學(xué)教授的黃鴻慈，1963年發(fā)表了中國(guó)第一篇包含有限元思想的文章。但他在多個(gè)場(chǎng)合提到：“我的文章已包含了證明中最重要的原理，馮先生則是在最廣泛的條件下得出最一般的結(jié)論，這只有在高深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上才能做到，因而也具有更高層次的開(kāi)創(chuàng)性，西方在1969年以后才得出了類似結(jié)果。”“如果有限元方法不是像數(shù)學(xué)家這樣處理，其應(yīng)用就大受限制，就不能形成今天這樣在理論上、應(yīng)用上被如此廣泛重視的局面。”

《基于變分原理的差分格式》既是馮康的傳世之作，也是中國(guó)學(xué)者獨(dú)立于西方創(chuàng)立有限元方法理論的標(biāo)志。

改革開(kāi)放后，馮康的論文被譯成英文，被世界知曉。原美國(guó)總統(tǒng)科學(xué)顧問(wèn)、紐約大學(xué)柯朗數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)拉克斯在紀(jì)念馮康的文章中特別指出，馮康“獨(dú)立于西方國(guó)家在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的發(fā)展，創(chuàng)造了有限元方法理論……在方法的實(shí)現(xiàn)及理論基礎(chǔ)的創(chuàng)立兩方面都作出了重要貢獻(xiàn)”。

著名數(shù)學(xué)家丘成桐曾在1998年指出：“中國(guó)近代數(shù)學(xué)能超越西方或與之并駕齊驅(qū)的有3個(gè)，陳省身的示性類、華羅庚的多復(fù)變函數(shù)和馮康的有限元計(jì)算?！卑筒妓箍ā⒗趟沟葒?guó)際知名數(shù)學(xué)家在相關(guān)文章中也都給予了高度評(píng)價(jià)。

類似的評(píng)價(jià)很快得到許多國(guó)際同行的認(rèn)同。這篇傳世之作猶如暗夜里的一束火光，指引、溫暖著那群30多歲的年輕人。

位于北京中關(guān)村南街的三室很快熱鬧起來(lái)，信函和來(lái)訪絡(luò)繹不絕。為全面介紹有限元方法，馮康、崔俊芝等人創(chuàng)辦了講習(xí)班，近300人參加，其中不乏知名學(xué)者。崔俊芝回憶，講習(xí)班影響很大，對(duì)促進(jìn)有限元方法在中國(guó)的推廣和應(yīng)用發(fā)揮了很大作用。

1982年，馮康、黃鴻慈、王藎賢、崔俊芝因獨(dú)立于西方創(chuàng)立有限元方法獲得國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。

馮康（右一）在學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)上。

4?傳承：突圍工業(yè)軟件內(nèi)核

如今，距離中國(guó)科學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)完成劉家峽計(jì)算任務(wù)已過(guò)去60年了。那段歷史多次被計(jì)算數(shù)學(xué)家們提起，他們不斷思考：為什么是馮康獨(dú)立于西方開(kāi)創(chuàng)了有限元方法？如何傳承老一輩科學(xué)家的精神？

崔俊芝這樣解釋為什么馮康能成功：“他擁有深厚的跨學(xué)科知識(shí)、多學(xué)科綜合交叉思維的學(xué)術(shù)思想；不僅能深刻認(rèn)識(shí)科學(xué)與工程問(wèn)題的物理模型，洞察解決問(wèn)題的可行路徑，還能統(tǒng)觀不同科學(xué)與工程問(wèn)題的內(nèi)涵，以高度抽象和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表述它們；再加上他全身心地投入科學(xué)研究，具有不達(dá)目標(biāo)決不罷休的獻(xiàn)身精神，這些使得他一個(gè)接一個(gè)地做出了國(guó)際首創(chuàng)的研究成果?！?/p>

馮康于1993年逝世，年輕人雖未能有機(jī)會(huì)當(dāng)面聆聽(tīng)其教誨，但早已對(duì)馮康及劉家峽計(jì)算的故事耳熟能詳，并從中汲取著強(qiáng)勁的精神動(dòng)力。

隨著計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展，基于有限元方法的軟件已經(jīng)成為輔助現(xiàn)代工程和裝備研發(fā)的主要軟件——計(jì)算機(jī)輔助工程CAE的核心。CAE 軟件可對(duì)工程和裝備的功能、性能與安全可靠性進(jìn)行計(jì)算分析，對(duì)未來(lái)工程和裝備進(jìn)行模擬仿真，證實(shí)其可用性與可靠性。

CAE與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）、計(jì)算機(jī)輔助制造（CAM） 組合簡(jiǎn)稱為CAX，是現(xiàn)代工業(yè)的基石、智能制造的靈魂，是我國(guó)成為制造強(qiáng)國(guó)的基礎(chǔ)性戰(zhàn)略支撐。

2023年7月，在中國(guó)科學(xué)院戰(zhàn)略性先導(dǎo)科技專項(xiàng)支持下，數(shù)學(xué)院成立了基礎(chǔ)軟件研究中心，圍繞工業(yè)軟件CAX一體化的計(jì)算方法和數(shù)學(xué)理論，向關(guān)鍵科學(xué)問(wèn)題發(fā)起沖擊。

數(shù)學(xué)院年輕的研究員崔濤、賈曉紅等組成“馮康CAX科技攻關(guān)青年突擊隊(duì)”，承襲先輩的衣缽，構(gòu)建新一代具有中國(guó)自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的CAX基礎(chǔ)工業(yè)軟件的數(shù)學(xué)內(nèi)核。

基礎(chǔ)軟件研究中心讓平均年齡不超過(guò)40歲的年輕人擔(dān)當(dāng)重任，考核標(biāo)準(zhǔn)也不再是發(fā)多少論文，而是產(chǎn)出“實(shí)在、能用”的算法和軟件。

這并不是一條坦途。但在新一代年輕人看來(lái)，“路雖遠(yuǎn)，行則將至；事雖難，做則必成”。

馮康領(lǐng)銜開(kāi)創(chuàng)的有限元方法，正孕育新的開(kāi)創(chuàng)性、引領(lǐng)性成果，迸發(fā)出嶄新的、無(wú)限的可能。

2024年1月，CAX一體化算法開(kāi)發(fā)驗(yàn)證平臺(tái)發(fā)布。數(shù)學(xué)院供圖

（原載于《中國(guó)科學(xué)報(bào)》?2024-09-13?第4版?專題）